このコードは、同じデータに対して正しい次数のモデルと不足した次数のモデルを当てはめ、残差の自己相関をLjung-Box検定で比較しています。

import numpy as np
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox

np.random.seed(42)
data = np.zeros(300)
e = np.random.randn(300)
for t in range(2, 300):
    data[t] = 0.6*data[t-1] - 0.3*data[t-2] + e[t]

for order in [(2,0,0), (1,0,0)]:
    resid = ARIMA(data, order=order).fit().resid
    p = acorr_ljungbox(resid, lags=[10])['lb_pvalue'].iloc[0]
    judge = '白色雑音（OK）' if p > 0.05 else '自己相関あり（NG）'
    print(f"ARIMA{order}  Ljung-Box p値:{p:.4f} → {judge}")

簡単に説明します。

ライブラリのインポート

• numpy：数値計算を行うためのライブラリ。ここでは乱数生成やデータ操作に使用しています。
• statsmodels.tsa.arima.model.ARIMA：ARIMAモデルを構築するクラスです。
• statsmodels.stats.diagnostic.acorr_ljungbox：Ljung-Box検定を実行する関数です。

データの生成

• data[t] = 0.6*data[t-1] - 0.3*data[t-2] + e[t]：AR(2)過程に従うデータを生成しています。現在の値が2つ前までの値に依存しています。

2つのモデルの比較

• (2,0,0)：AR(2)モデル。データ生成過程と一致する正しい次数です。
• (1,0,0)：AR(1)モデル。1次までしか考慮しないため、次数が不足しています。
• ARIMA(data, order=order).fit().resid：各モデルを当てはめ、残差を取得します。

Ljung-Box検定の実行

• acorr_ljungbox(resid, lags=[10])：残差に対してラグ10までの自己相関をまとめて検定します。
• ['lb_pvalue'].iloc[0]：検定結果のp値を取得します。
• p値が0.05より大きければ帰無仮説（白色雑音）を棄却できず、モデルが適切と判断します。

(A) 残差が正規分布に従っているかどうか → ×

残差の正規性の検定にはJarque-Bera検定やShapiro-Wilk検定を使います。Ljung-Box検定は正規性ではなく、自己相関の有無を検定します。

(B) 残差に自己相関が残っていないか（白色雑音か）どうか → ○

正解です。Ljung-Box検定の帰無仮説は「残差に自己相関がない（白色雑音である）」です。適切なモデルであれば、データの構造はすべてモデルに取り込まれ、残差は自己相関のないランダムな系列（白色雑音）になるはずです。

(C) 残差の分散が一定であるかどうか → ×

残差の分散の均一性（等分散性）の検定にはARCH検定やBreusch-Pagan検定を使います。Ljung-Box検定は分散ではなく自己相関を対象としています。

(D) モデルの係数が統計的に有意かどうか → ×

係数の有意性はモデルのサマリー（summary()）で各係数のp値やt値として確認します。Ljung-Box検定は係数ではなく残差の性質を診断します。

Ljung-Box検定の統計量は以下の式で定義されます。

$$
Q = n(n+2) \sum_{k=1}^{h} \frac{\hat{\rho}_k^2}{n-k}
$$
ここで、nはサンプルサイズ、hは検定するラグ数、\hat{\rho}_kはラグkの標本自己相関係数です。

この統計量は、複数のラグの自己相関をまとめて評価します。個々のラグの自己相関が小さくても、多くのラグでわずかな自己相関が積み重なっていれば、Qは大きな値を取ります。帰無仮説のもとでQは自由度h-m（mは推定したパラメータ数）のカイ二乗分布に従い、Qが大きい（p値が小さい）ほど帰無仮説に反する証拠が強くなります。

適切な時系列モデルは、データに含まれる予測可能な構造（自己相関）をすべて捉えるべきです。モデルがデータの構造を完全に説明できていれば、残差には予測可能な情報が残らず、純粋なランダム成分（白色雑音）だけになります。

逆に、残差に自己相関が残っている場合は、以下のいずれかが示唆されます。

• モデルの次数が不足している：今回のAR(1)モデルのように、必要なラグを取り込めていない。
• モデルの形が不適切：ARモデルが適切な場面でMAモデルを使っているなど。
• 非線形構造の見落とし：線形モデルでは捉えられない構造が残っている。

 

残差に自己相関が残っているということは、まだ予測に活用できる情報が残っているということであり、モデルを改善する余地があることを意味します。

ARIMAモデルの構築では、次数の選択だけでなく残差診断が重要なステップです。一般的な流れは以下の通りです。

• 1. モデルの構築：ACF・PACFや情報量基準（AIC）で次数を選択し、モデルを当てはめる。
• 2. Ljung-Box検定：残差に自己相関が残っていないかを確認する。
• 3. 正規性の確認：Jarque-Bera検定やQ-Qプロットで残差の正規性を確認する。
• 4. 等分散性の確認：残差の分散が時間とともに変化していないかを確認する。

 

これらの診断をすべてパスして初めて、モデルが妥当であると判断できます。statsmodelsでは、model.plot_diagnostics()を使うと残差のヒストグラム、Q-Qプロット、コレログラムなどをまとめて可視化でき、診断作業を効率化できます。

なお、Ljung-Box検定で帰無仮説が棄却された場合は、ACF・PACFを再確認して次数を増やすなど、モデルの再検討が必要です。今回のAR(1)モデルのケースでは、次数をAR(2)に増やすことで残差が白色雑音になります。