Python 時系列分析 1,000本ノック– ノック88: Ljung-Box検定 –

問題
答え
解説

次の Python コードの Ljung-Box 検定は何を確認していますか？

Python コード:

import numpy as np
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox

np.random.seed(42)
data = np.zeros(300)
e = np.random.randn(300)
for t in range(2, 300):
    data[t] = 0.6*data[t-1] - 0.3*data[t-2] + e[t]

for order in [(2,0,0), (1,0,0)]:
    resid = ARIMA(data, order=order).fit().resid
    p = acorr_ljungbox(resid, lags=[10])['lb_pvalue'].iloc[0]
    judge = '白色雑音（OK）' if p > 0.05 else '自己相関あり（NG）'
    print(f"ARIMA{order}  Ljung-Box p値:{p:.4f} → {judge}")

回答の選択肢:
(A) 残差が正規分布に従っているかどうか
(B) 残差に自己相関が残っていないか（白色雑音か）どうか
(C) 残差の分散が一定であるかどうか
(D) モデルの係数が統計的に有意かどうか

出力例:

ARIMA(2, 0, 0)  Ljung-Box p値:0.6562 → 白色雑音（OK）
ARIMA(1, 0, 0)  Ljung-Box p値:0.0000 → 自己相関あり（NG）

正解: (B)
Ljung-Box検定は、ARIMAモデルの残差に自己相関が残っていないか（残差が白色雑音であるか）を確認する検定です。帰無仮説は「残差に自己相関がない（白色雑音である）」です。出力では、正しいモデルAR(2)の残差はp値=0.6562で帰無仮説を棄却できず、自己相関がない（モデルが適切）と判断されます。一方、次数が不足したAR(1)モデルの残差はp値=0.0000で帰無仮説が棄却され、自己相関が残っている（モデルが不適切）ことがわかります。

コードの解説

このコードは、同じデータに対して正しい次数のモデルと不足した次数のモデルを当てはめ、残差の自己相関をLjung-Box検定で比較しています。

import numpy as np
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox

np.random.seed(42)
data = np.zeros(300)
e = np.random.randn(300)
for t in range(2, 300):
    data[t] = 0.6*data[t-1] - 0.3*data[t-2] + e[t]

for order in [(2,0,0), (1,0,0)]:
    resid = ARIMA(data, order=order).fit().resid
    p = acorr_ljungbox(resid, lags=[10])['lb_pvalue'].iloc[0]
    judge = '白色雑音（OK）' if p > 0.05 else '自己相関あり（NG）'
    print(f"ARIMA{order}  Ljung-Box p値:{p:.4f} → {judge}")

簡単に説明します。

ライブラリのインポート

numpy：数値計算を行うためのライブラリ。ここでは乱数生成やデータ操作に使用しています。
statsmodels.tsa.arima.model.ARIMA：ARIMAモデルを構築するクラスです。
statsmodels.stats.diagnostic.acorr_ljungbox：Ljung-Box検定を実行する関数です。

データの生成

data[t] = 0.6*data[t-1] - 0.3*data[t-2] + e[t]：AR(2)過程に従うデータを生成しています。現在の値が2つ前までの値に依存しています。

2つのモデルの比較

(2,0,0)：AR(2)モデル。データ生成過程と一致する正しい次数です。
(1,0,0)：AR(1)モデル。1次までしか考慮しないため、次数が不足しています。
ARIMA(data, order=order).fit().resid：各モデルを当てはめ、残差を取得します。

Ljung-Box検定の実行

acorr_ljungbox(resid, lags=[10])：残差に対してラグ10までの自己相関をまとめて検定します。
['lb_pvalue'].iloc[0]：検定結果のp値を取得します。
p値が0.05より大きければ帰無仮説（白色雑音）を棄却できず、モデルが適切と判断します。

選択肢の解説

(A) 残差が正規分布に従っているかどうか → ×

残差の正規性の検定にはJarque-Bera検定やShapiro-Wilk検定を使います。Ljung-Box検定は正規性ではなく、自己相関の有無を検定します。

(B) 残差に自己相関が残っていないか（白色雑音か）どうか → ○

正解です。Ljung-Box検定の帰無仮説は「残差に自己相関がない（白色雑音である）」です。適切なモデルであれば、データの構造はすべてモデルに取り込まれ、残差は自己相関のないランダムな系列（白色雑音）になるはずです。

(C) 残差の分散が一定であるかどうか → ×

残差の分散の均一性（等分散性）の検定にはARCH検定やBreusch-Pagan検定を使います。Ljung-Box検定は分散ではなく自己相関を対象としています。

(D) モデルの係数が統計的に有意かどうか → ×

係数の有意性はモデルのサマリー（summary()）で各係数のp値やt値として確認します。Ljung-Box検定は係数ではなく残差の性質を診断します。

Ljung-Box検定の仕組み

Ljung-Box検定の統計量は以下の式で定義されます。

$$
Q = n(n+2) \sum_{k=1}^{h} \frac{\hat{\rho}_k^2}{n-k}
$$
ここで、 $n$ はサンプルサイズ、 $h$ は検定するラグ数、 $\hat{\rho}_k$ はラグkの標本自己相関係数です。

この統計量は、複数のラグの自己相関をまとめて評価します。個々のラグの自己相関が小さくても、多くのラグでわずかな自己相関が積み重なっていれば、Qは大きな値を取ります。帰無仮説のもとでQは自由度 $h-m$ （mは推定したパラメータ数）のカイ二乗分布に従い、Qが大きい（p値が小さい）ほど帰無仮説に反する証拠が強くなります。

なぜ残差が白色雑音であるべきか