このコードは、トレンドと季節性を含む時系列データに対して、Holt-Winters法で予測モデルを構築しています。

import numpy as np
from sklearn.model_selection import TimeSeriesSplit

data = np.arange(20)
for i, (tr, te) in enumerate(
    TimeSeriesSplit(n_splits=5).split(data)):
    print(
        f"Fold {i+1}  "
        f"train: {tr.tolist()}  "
        f"test: {te.tolist()}"
    )

簡単に説明します。

ライブラリのインポート

• numpy：数値計算を行うためのライブラリ。ここでは乱数生成や数値操作に使用しています。
• statsmodels.tsa.holtwinters.ExponentialSmoothing：指数平滑法（Holt-Winters法を含む）を実装したクラスです。

データの生成

• 100 + 1.5*t + np.random.randn(96).cumsum()：ベースレベル100に線形トレンドとランダムウォーク成分を加えたものです。
• 1 + (0.15 + 0.003*t) * np.sin(2*np.pi*t/12)：振幅が時間とともに増大する周期12の乗法的な季節成分です。
• ベースとなるトレンドに季節成分を掛け算し、さらにノイズを加えることで、レベルが大きくなるほど季節変動の振幅も大きくなるデータ（乗法的季節性）を生成しています。

モデルの構築

• ExponentialSmoothing(...)：指数平滑モデルを定義します。
  • seasonal='mul'：季節成分を乗法的にモデル化します。レベルが上がるにつれ季節変動の振幅も拡大するデータに適しています。
  • seasonal_periods=12：季節の周期を12に設定します。
  • trend='add'：トレンド成分を加法的にモデル化します。
• .fit()：最尤推定により、3つの平滑化パラメータ（α, β, γ）と初期値を最適化します。

結果の出力

• model.forecast(12)：学習データの続きとして12期先までの予測値を出力します。

(A) レベル（水準）のみを平滑化し、将来値を予測している → ×

レベルのみを平滑化するのは単純指数平滑法（Simple Exponential Smoothing） です。この場合、trend=None, seasonal=Noneと指定します。今回のコードではtrend='add'とseasonal='mul'を指定しており、3つの成分をモデル化しています。

(B) レベルとトレンドを加法的に、季節性を乗法的にモデル化している → ○

正解です。trend='add'でトレンドを加法的に、seasonal='mul'で季節性を乗法的にモデル化しています。出力されたα, β, γの3つのパラメータが、それぞれレベル・トレンド・季節性の追従速度を示しています。

(C) 季節性を除去してトレンドのみを抽出している → ×

Holt-Winters法は季節性を除去するのではなく、季節成分をモデルに組み込んで予測に活用します。季節性の除去にはseasonal_decomposeや差分処理などを使います。

(D) 時系列データの自己回帰構造をモデル化している → ×

自己回帰（AR）構造のモデル化はARIMAモデルの役割です。指数平滑法はARIMAとは異なるアプローチで、各時点の「レベル」「トレンド」「季節」を逐次更新していく仕組みです。ただし、理論的にはある条件下でARIMAモデルと等価になることが知られています。

指数平滑法にはモデル化する成分の数に応じて3つの段階があります。

1. 単純指数平滑法（SES: Simple Exponential Smoothing）

レベルのみをモデル化します。トレンドや季節性のないデータに適用します。パラメータはα（レベル）の1つです。

2. Holt法（二重指数平滑法）

レベルとトレンドをモデル化します。トレンドがあるが季節性のないデータに適用します。パラメータはα（レベル）とβ（トレンド）の2つです。

3. Holt-Winters法（三重指数平滑法）

レベル、トレンド、季節性の3つすべてをモデル化します。今回のコードで使用している手法です。パラメータはα（レベル）、β（トレンド）、γ（季節）の3つです。

以下のコードで、各パラメータの値を見てみます。

print(f"alpha (レベル):   {model.params['smoothing_level']:.4f}")
print(f"beta  (トレンド): {model.params['smoothing_trend']:.4f}")
print(f"gamma (季節):     {model.params['smoothing_seasonal']:.4f}")

以下、実行結果です

alpha (レベル):   0.0590
beta  (トレンド): 0.0177
gamma (季節):     0.9410

Holt-Winters法では、トレンドと季節性それぞれに加法（additive）と乗法（multiplicative）を選択できます。

加法モデル（seasonal='add'）

$$\hat{y}_t = L_t + T_t + S_t$$

季節変動の振幅がレベルに関係なく一定のデータに適しています。例えば、毎年12月に売上が一律50万円増えるようなパターンです。

乗法モデル（seasonal='mul'）

$$\hat{y}_t = (L_t + T_t) \times S_t$$

季節変動の振幅がレベルに比例して拡大するデータに適しています。例えば、毎年12月に売上が20%増えるようなパターンです。売上規模が大きくなれば、12月の増加額も大きくなります。

今回の出力ではγ = 0.9410と大きな値になっています。これは、季節パターンが直近のデータに強く追従して更新されていることを意味し、季節変動が時間とともに変化しているデータの特性を反映しています。

α, β, γはいずれも0から1の間の値を取り、以下のように解釈します。

• 値が0に近い：過去のデータに大きな重みを置く。変化への追従が遅く、安定的な推定になる。
• 値が1に近い：直近のデータに大きな重みを置く。変化への追従が速いが、ノイズに敏感になる。

 

今回の結果では、α = 0.0590（レベル）とβ = 0.0177（トレンド）は小さく安定的に推定されている一方、γ = 0.9410（季節）は大きく、季節パターンが急速に更新されています。これは、データの季節変動の振幅が時間とともに変化しているためです。