このコードは、2次トレンドを持つ時系列データに対して、差分の階数を変えながら定常性を確認しています。

import numpy as np, pandas as pd
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

np.random.seed(42)
t = np.arange(200.)
data = pd.Series(
    0.05*t**2 + 2*t + np.random.randn(200)*5)

for d, s in enumerate([
    data, data.diff(), data.diff().diff()]):
    p = adfuller(s.dropna())[1]
    print(f"{d}階差分  ADF p値:{p:.4f}"
          f" → {'定常' if p<0.05 else '非定常'}")

簡単に説明します。

ライブラリのインポート

• numpy：数値計算を行うためのライブラリ。ここでは時間軸の生成や乱数生成に使用しています。
• pandas：Seriesの差分処理（diff）に使用しています。
• statsmodels.tsa.stattools.adfuller：ADF検定で定常性を判定します。

データの生成

• 0.05*t**2 + 2*t + np.random.randn(200)*5：
  • 2次トレンド：0.05*t**2
  • 1次トレンド：2*t
• 2次の項が含まれているため、1階差分では完全にトレンドを除去できません。

差分処理と検定

• data：原系列（0階差分）。
• data.diff()：1階差分。隣接する値の差 y_t – y_{t-1} を計算します。
• data.diff().diff()：2階差分。1階差分にさらに差分を適用します。
• s.dropna()：差分処理によって生じるNaN（先頭の値）を除去します。1階差分で1個、2階差分で2個のNaNが生じます。
• adfuller(...)[1]：ADF検定のp値を取得します。p値が0.05未満なら定常と判断します。

(A) 0階（差分処理は不要） → ×

原系列のADF検定のp値は0.9985で、0.05を大きく上回っています。帰無仮説（非定常）を棄却できないため、原系列は非定常であり差分処理が必要です。

(B) 1階 → ×

1階差分後もp値は0.7866で、まだ非定常です。これは、データに2次トレンドが含まれており、1階差分だけでは線形成分のトレンドしか除去できないためです。

(C) 2階 → ○

正解です。2階差分でp値が0.0000となり、定常になっています。一般に、n次の多項式トレンドを除去するにはn階の差分が必要です。今回は2次トレンドのため2階差分が必要でした。

(D) 差分処理では定常化できない → ×

2階差分で定常化できているため、この選択肢は誤りです。なお、季節性が強い場合などは通常の差分では定常化が難しいこともありますが、その場合は季節差分を併用します。

差分処理は、隣接する時点の値の差を取ることでトレンドを除去し、データを定常化する手法です。

1階差分:

$$
\Delta y_t = y_t – y_{t-1}
$$

1階差分は線形トレンド（1次の傾き）を除去します。例えば、毎期一定量だけ増加するデータは、1階差分を取ると一定値（＝増加量）になり、トレンドが消えます。

2階差分:

$$
\Delta^2 y_t = \Delta y_t – \Delta y_{t-1} = y_t – 2y_{t-1} + y_{t-2}
$$

2階差分は1階差分をさらに差分したもので、2次トレンド（加速・減速する傾向）を除去します。今回のデータは2次の項を含むため、2階差分が必要でした。

差分の階数は、ARIMA(p, d, q)モデルのdに対応します。ARIMAモデルを構築する際の差分次数の決定は、以下の手順で行います。

• 原系列にADF検定を適用し、定常性を確認する。
• 非定常であれば1階差分を取り、再びADF検定を実行する。
• 定常になるまで差分を繰り返し、定常になった時点の階数をdとする。

 

今回のデータではd=2が適切です。実務ではpmdarima.auto_arimaがこのd次数の決定を自動化してくれますが、その内部でも同様の単位根検定が使われています。

差分は「定常になるまで」行うべきで、必要以上に差分を取る過剰差分（over-differencing） は避けるべきです。過剰差分には以下の問題があります。

分散の増大

差分を取るたびにデータの分散が増大する傾向があります。不必要な差分は予測の不確実性を高めます。

人為的なMA構造の導入

過剰に差分を取ると、本来存在しない移動平均（MA）構造がデータに導入されてしまい、モデルが複雑化します。

情報の損失

差分はデータの水準に関する情報を失わせます。過剰差分は元のデータが持っていた有用な情報を不必要に削ってしまいます。

定常化が達成できた最小の階数を選ぶことが原則です。ADF検定とKPSS検定を併用し、両検定が定常を支持する最小の差分次数を選ぶのが安全な判断方法です。