このコードは、ステップ変化を含むデータに対してSMAとEWMAを適用し、変化への追従速度を比較しています。

import numpy as np, pandas as pd

np.random.seed(42)
data = pd.Series(np.concatenate([
    np.random.randn(50) + 10,
    np.random.randn(50) + 20]))

sma = data.rolling(10).mean()
ewma = data.ewm(span=10).mean()

print("時点  実測値  SMA(10)  EWMA(span=10)")
for t in [50, 52, 55, 58]:
    print(f"  {t}  {data[t]:6.2f}  {sma[t]:6.2f}"
          f"   {ewma[t]:6.2f}")
print(f"\nspan=10 の減衰率 α = 2/(10+1) = {2/11:.4f}")

簡単に説明します。

ライブラリのインポート

• numpy：数値計算を行うためのライブラリ。ここでは乱数生成やデータの連結に使用しています。
• pandas：Seriesのrolling（移動平均）とewm（指数加重移動平均）に使用しています。

データの生成

• np.random.randn(50) + 10とnp.random.randn(50) + 20を連結し、t=50で平均が10から20へジャンプするステップ変化を持つデータを作成しています。

2つの平滑化

• data.rolling(10).mean()：SMA（単純移動平均）。直近10点を等しい重みで平均します。
• data.ewm(span=10).mean()：EWMA（指数加重移動平均）。直近のデータほど大きな重みを与えて平均します。span=10は重みの減衰の緩やかさを指定するパラメータです。

追従速度の比較

• ステップ変化の直後（t=50〜58）で、SMAとEWMAが新しい水準（20）にどれだけ速く追従するかを比較しています。EWMAの方が一貫して実測値に近い値を示しています。

減衰率α

• span=10は減衰率α = 2/(span+1) = 0.1818に対応します。αは各時点で最新データに与える重みを表します。

(A) EWMAは窓内のすべてのデータに等しい重みを与える → ×

すべてのデータに等しい重みを与えるのはSMA（単純移動平均） です。EWMAは重みを指数関数的に変化させます。

(B) EWMAは直近のデータほど大きな重みを与え、変化への追従が速い → ○

正解です。EWMAは直近のデータに最も大きな重みを与え、過去に遡るほど重みが指数関数的に減衰します。この性質により、データの変化に素早く反応できます。

(C) EWMAは過去のデータほど大きな重みを与え、変化への追従が遅い → ×

重み付けの方向が逆です。EWMAは過去ではなく直近のデータを重視します。追従は遅いのではなく速くなります。

(D) EWMAとSMAは重み付けが同じで、計算方法だけが異なる → ×

両者は重み付けが本質的に異なります。SMAは等重み、EWMAは指数的に減衰する重みです。今回の出力で追従速度に差が出ているのは、この重み付けの違いによるものです。

EWMAは以下の漸化式で計算されます。

$$
\text{EWMA}_t = \alpha \cdot y_t + (1 – \alpha) \cdot \text{EWMA}_{t-1}
$$

ここで、\alpha（0 < α ≤ 1）は平滑化係数（減衰率）です。この式を展開すると、過去のデータへの重みが指数関数的に減衰することがわかります。

$$
\text{EWMA}_t = \alpha \, y_t + \alpha(1-\alpha) y_{t-1} + \alpha(1-\alpha)^2 y_{t-2} + \cdots
$$

t時点のデータには重み\alpha、1期前には\alpha(1-\alpha)、2期前には\alpha(1-\alpha)^2と、過去に遡るほど(1-\alpha)の累乗で重みが小さくなります。

pandasのewmでは、減衰の度合いを3種類のパラメータで指定できます。いずれか1つを指定すると、他は自動的に決まります。

span（スパン）

$$
\alpha = \frac{2}{\text{span} + 1}
$$

SMAの窓幅に近い直感的な指定方法です。span=10はα≈0.18に対応します。spanが大きいほど平滑化が強く（追従が遅く）なります。

alpha（平滑化係数）

減衰率を直接指定します。0に近いほど平滑化が強く、1に近いほど直近データを重視します。

halflife（半減期）

$$
\alpha = 1 – \exp\left(\frac{\ln 0.5}{\text{halflife}}\right)
$$

重みが半分になるまでの期間で指定します。「5期前のデータの影響を半分にしたい」といった直感的な指定が可能です。

EWMAが有利な場合

• データの変化に素早く反応したい（今回のようなステップ変化やトレンド転換）。
• 直近のデータが予測に重要。
• すべての過去データを保持せずに逐次計算したい（漸化式なので直前の値だけで更新できる）。

SMAが有利な場合

• 一定期間の単純な平均が意味を持つ（例：移動平均線による長期トレンドの把握）。
• 特定の窓幅内のデータのみを考慮したい。
• 周期的なパターンを平滑化したい（窓幅を周期に合わせる）。

 

EWMAは金融分野のボラティリティ推定（RiskMetrics）や、指数平滑法（ノックXXで扱ったHolt-Winters法の基礎）でも使われる重要な手法です。特に、EWMAの漸化式は単純指数平滑法（SES）そのものであり、指数平滑法ファミリーの出発点となっています。