このコードは、一方が他方に遅れて反応する2つの系列を作り、引数の順序を入れ替えて相互相関を計算しています。

import numpy as np
from statsmodels.tsa.stattools import ccf

np.random.seed(0)
a = np.random.randn(300)
b = 0.8*np.roll(a, 3) + np.random.randn(300)*0.5

print("X:", ccf(b, a, nlags=6).round(2))
print("Y:", ccf(a, b, nlags=6).round(2))

詳しく説明します。

ライブラリのインポート

• numpy：数値計算を行うためのライブラリです。ここでは乱数生成と配列の操作に使用しています。
• statsmodels.tsa.stattools.ccf：2つの時系列の相互相関関数（CCF: Cross-Correlation Function）を計算する関数です。

データの生成

• a = np.random.randn(300)：300点のホワイトノイズです。広告出稿量や気温など、先に動く系列をイメージしてください。
• np.roll(a, 3)：配列を後ろに3つずらします。時点tの値がa_{t-3}になります（先頭3点には末尾の値が回り込みますが、300点のうち3点なので影響はわずかです）。
• b = 0.8*np.roll(a, 3) + ノイズ：bは「3期前のaの0.8倍」にノイズを加えた系列です。つまりbはaに3期遅れて反応します。

相互相関の計算

• ccf(b, a, nlags=6)：ラグ0〜5の相互相関を計算します。ラグkの値は\mathrm{corr}(b_{t+k}, a_t)です。
• ccf(a, b, nlags=6)：引数の順序を入れ替えたものです。ラグkの値は\mathrm{corr}(a_{t+k}, b_t)になります。
• nlags=6：計算する値の個数です。ラグ0から始まるため、出力はラグ0〜5の6個になります。

出力の読み方

• X（ccf(b, a)）のラグ3：0.86。「aの3期後のb」との相関が強いことを示します。
• Y（ccf(a, b)）：すべて0.1以下。「bの後のa」との相関はほとんどありません。
• ラグ0（同時点）の相関はどちらも0.07で、ほぼ0です。

(A) bがaに3期先行している → ×
向きが逆です。ccf(b, a)のラグ3はbの3期後ではなく、aの3期後のbとの相関です。「どちらの系列をk期ずらしているか」を取り違えると、先行・遅行の判断が逆転します。CCFで最も多い読み間違いです。

(B) aがbに3期先行している → ○
正解です。\mathrm{corr}(b_{t+3}, a_t)=0.86であり、aが動いた3期後にbが動くという関係を示しています。

(C) aとbは同時点で強く相関しているが、ラグを取ると相関が消える → ×
同時点（ラグ0）の相関は0.07でほぼ0です。強い相関はラグ3にだけ現れており、むしろ「同時点では無相関で、ずらすと相関が現れる」関係です。

(D) aとbはどちらも、3期ごとに繰り返す自己相関（周期性）を持っている → ×
これは自己相関（ACF）とCCFの混同です。CCFは2つの系列の間の相関であり、各系列の内部の周期性は表しません。実際、bの自己相関をラグ1〜5で計算すると、すべて絶対値0.06以下で周期性はありません。また周期性があれば、ラグ3だけでなくラグ6, 9, …にも山が繰り返し現れるはずです。

statsmodelsのccf(x, y)は、次の相互相関をラグk=0, 1, 2, \ldotsについて計算します。

$$
r_{xy}(k) = \frac{\sum_{t=1}^{n-k}(x_{t+k}-\bar{x})(y_t-\bar{y})}{(n-k)\, s_x s_y}
$$

s_x, s_yは標準偏差です（既定のadjusted=Trueでは分母にn-kを使います）。ポイントは、第1引数の系列をk期先にずらしていることです。

呼び出し	ラグkの意味	ラグkで大きいとき
ccf(b, a)	\mathrm{corr}(b_{t+k}, a_t)	aがbにk期先行
ccf(a, b)	\mathrm{corr}(a_{t+k}, b_t)	bがaにk期先行

ccfは非負のラグしか返さないため、両方向の関係を調べるには、今回のように引数を入れ替えて2回計算する必要があります。

向きに迷ったときは、pandasのshiftで直接確かめるのが確実です。

import pandas as pd
pd.Series(b).corr(pd.Series(a).shift(3))

a.shift(3)は「3期前のa」なので、これは\mathrm{corr}(b_t, a_{t-3})です。結果は0.856で、ccf(b, a)のラグ3と一致します。

なお、numpy.correlateやscipy.signal.correlateは正規化の有無や出力するラグの並び方がccfと異なるため、ライブラリをまたいで結果を比べるときは特に注意しましょう。

有意性の目安
2つの系列が無相関なホワイトノイズであれば、CCFの各値はおおよそ\pm 2/\sqrt{n}の範囲に収まります。今回はn=300なので約\pm 0.115です。ラグ3の0.86はこの範囲を大きく超えていますが、他の値はすべて範囲内です。

自己相関があるとCCFは広がる
今回のaはホワイトノイズでしたが、実務のデータの多くは自己相関を持ちます。aをAR(1)過程（係数0.8）に変え、同じくbを3期遅れで反応させると、CCFは次のようになります。

ラグ:  0     1     2     3     4     5     6     7
CCF : 0.61  0.69  0.80  0.95  0.79  0.69  0.61  0.54

ラグ3が最大ではあるものの、どのラグでも大きな値になり、「どのラグで影響しているか」が読み取りにくくなります。a自身の自己相関が、CCFに混入するためです。

事前白色化（プレホワイトニング）
この問題への対処法が事前白色化です。先行系列aにARモデルを当てはめ、同じフィルタを両方の系列にかけて自己相関を取り除いてから、CCFを計算します。

from statsmodels.tsa.ar_model import AutoReg
phi = AutoReg(a2, 1, trend='n').fit().params[0]
fa, fb = a2[1:] - phi*a2[:-1], b2[1:] - phi*b2[:-1]
ccf(fb, fa, nlags=8)

ラグ:  0     1     2     3     4     5     6     7
CCF : 0.03 -0.02 -0.04  0.78 -0.07  0.01  0.01 -0.03

（a2、b2はAR(1)版のデータです。）事前白色化により、ラグ3だけがはっきりと浮かび上がりました。

手法	調べること	CCFとの関係
ACF（自己相関関数）	1つの系列の、過去の自分との相関	CCFは2系列間に拡張したもの
CCF（相互相関関数）	2系列間の、ラグごとの相関	先行・遅行関係とラグの探索に使う
グレンジャー因果検定	一方の過去が、他方の予測を改善するか	CCFで見つけたラグ関係を検定で確かめる
VARモデル	複数系列の相互の動的関係	CCFで関係を把握した後のモデル化
SARIMAX（外生変数）	外生変数による内生変数の予測	CCFで見つけたラグで外生変数をずらして投入

CCFは「探索」の道具であり、関係の有無を厳密に判断するものではありません。CCFで有望なラグを見つけ、グレンジャー因果検定やVARモデル（ノック40）、外生変数付きモデルへとつなげていくのが典型的な流れです。

非定常な系列はそのまま使わない
トレンドを持つ2つの系列は、無関係であってもあらゆるラグで高いCCFを示します（見せかけの相関）。CCFを計算する前に、差分を取るなどして定常化しましょう。

自己相関の強い系列は事前白色化する
上で見たように、先行系列に自己相関があるとCCFが広がり、ラグの特定が難しくなります。特に日次・週次の売上や気温などは自己相関が強いため、事前白色化を検討しましょう。

ラグの向きを必ず確認する
ccf(x, y)の引数の順序とラグの意味は、ライブラリごとに異なります。結論を出す前に、shiftを使った相関計算で向きを確かめる習慣をつけると安全です。

相関は因果ではない
CCFでラグ3に強い相関があっても、aがbの原因であるとは限りません。両者に共通して影響する第3の要因が、異なるタイミングで両方を動かしている可能性もあります。

活用例
広告出稿から売上に効果が出るまでのラグ、気温の変化から電力需要が変わるまでのラグ、景気の先行指標と業績の関係など、「何期遅れで効くか」を把握したい場面で役立ちます。見つけたラグは、予測モデルの説明変数やラグ特徴量の設計に活かせます。