このコードは、トレンドを持つ時系列データにTheta法を当てはめ、5期先までの予測値とその増加幅を確認しています。

import numpy as np
from statsmodels.tsa.forecasting.theta import ThetaModel

np.random.seed(4)
y = 50 + 0.5*np.arange(100) + np.random.randn(100)*3

res = ThetaModel(y, deseasonalize=False).fit()
fc = res.forecast(5).values
print(res.params.round(3))
print(fc.round(2))
print(np.diff(fc).round(3))

詳しく説明します。

ライブラリのインポート

• numpy：数値計算を行うためのライブラリです。ここでは乱数生成と差分の計算に使用しています。
• statsmodels.tsa.forecasting.theta.ThetaModel：Theta法による予測モデルを実装したクラスです。

データの生成

• 50 + 0.5*np.arange(100)：切片50、傾き0.5の線形トレンドです。
• np.random.randn(100)*3：標準偏差3のノイズです。トレンドの周りを不規則に変動するデータになります。

モデルの推定と予測

• ThetaModel(y, deseasonalize=False)：季節調整を行わない設定でモデルを定義します。デフォルト（deseasonalize=True）では季節性の検定と季節調整が行われ、周期（period）の指定が必要になります。今回のデータには季節性がないため、無効にしています。
• .fit()：回帰直線の傾きb0とSESの平滑化係数alphaを推定します。
• res.forecast(5)：5期先までの予測値を計算します。引数thetaは省略しており、デフォルトのθ=2が使われます。
• np.diff(fc)：予測値の1期あたりの増加幅を計算しています。

出力の読み方

• b0（0.500）：時点0, 1, …, 99に対して当てはめた回帰直線の傾きです。真の傾き0.5と一致しています。
• alpha（0.406）：SESの平滑化係数です。
• 予測値の増加幅（0.25）：b0のちょうど半分です。

(A) 回帰直線の傾きを、そのまま将来に延長している → ×
回帰直線の延長であれば、予測値は1期あたりb0（0.500）ずつ増えるはずです。Theta法では回帰直線のトレンドは予測の半分にしか寄与しないため、増加幅は0.25になります。

(B) 直近の値に、過去の平均的な変化量（最初と最後の値を結んだ傾き）を足し続けている → ×
これはドリフト法です。今回のデータでドリフトを計算すると(y_{100}-y_1)/99 \approx 0.507で、増加幅は約0.5になります。後述のとおりTheta法は「ドリフト付きSES」と等価ですが、そのドリフトはb0の半分であり、ドリフト法とは異なります。

(C) 回帰直線のトレンドと単純指数平滑の予測を、同じ重みで組み合わせている → ○
正解です。θ=0の線（回帰直線）の延長と、θ=2の線のSES予測を1/2ずつ平均するのが、標準的なTheta法です。

(D) 水準と傾きをそれぞれ指数平滑で逐次更新し、最新の傾きで延長している → ×
これはHoltの線形トレンド法です。同じデータにHolt法を当てはめると、予測の増加幅は0.5になります。Holt法では傾き自体を指数平滑で推定しますが、Theta法の傾きは回帰直線から固定的に決まり、その半分が使われます。

Theta法は、2000年にAssimakopoulosとNikolopoulosが提案した手法です。予測コンペティション「M3」で最高水準の精度を示し、シンプルながら強力なベンチマーク手法として知られるようになりました。

θ線（Theta line）
元の系列y_tの2階差分（曲がり具合）を\theta倍した系列を「θ線」と呼びます。

$$
\Delta^2 Z_t(\theta) = \theta \, \Delta^2 y_t
$$

• θ=0の線：曲がり具合が0になるため、直線になります。これはy_tに当てはめた回帰直線（長期トレンド）そのものです。
• θ=2の線：曲がり具合が2倍に強調され、短期的な変動が大きくなります。

θ=0の線とθ=2の線を平均すると、元の系列に戻ります。

予測の手順

1. θ=0の線（回帰直線）を将来に延長する
2. θ=2の線をSESで予測する（将来にわたって水平）
3. 2つの予測を1/2ずつ平均する

「長期のトレンドは直線で、短期の水準は指数平滑で捉える」という役割分担が、Theta法の考え方です。

forecast()の引数thetaを変えると、トレンドの重みが変わります。statsmodelsでは、トレンドの重みを(\theta-1)/\theta、SESの重みを1/\thetaとして組み合わせます。予測式は次のとおりです。

$$
\hat{y}_{T+h|T} = \tilde{y}_{T+h|T} + \frac{\theta-1}{\theta}\, b_0 \left[h – 1 + \frac{1}{\alpha} – \frac{(1-\alpha)^T}{\alpha}\right] $$

\tilde{y}_{T+h|T}はSESの予測値です。今回のデータでthetaを変えて予測の増加幅を比較すると、次のようになります。

for th in [1, 2, 3, 10]:
    print(th, np.diff(res.forecast(5, theta=th)).round(3))

θ	トレンドの重み	増加幅	解釈
1	0	0.000	SESのみ（水平な予測）
2	1/2	0.250	標準的なTheta法
3	2/3	0.333	トレンドを強めに反映
10	9/10	0.450	回帰直線の傾きに近づく

θを大きくするほど、予測の傾きは回帰直線の傾きb0に近づきます。

「ドリフト付きSES」との等価性
HyndmanとBillah（2003）は、標準的なTheta法（θ=2）が「ドリフトb_0/2を持つSES」と等価であることを示しました。一見複雑な「θ線の分解と合成」は、結局のところ「SESに回帰直線の傾きの半分を足す」ことと同じです。

他の手法との比較
同じデータに対する予測の増加幅は次のとおりです。

手法	傾きの決め方	増加幅
回帰直線の延長	全期間の回帰直線	0.500
ドリフト法	最初と最後の値を結んだ傾き	0.507
Holt法	指数平滑で逐次更新	0.500
Theta法（θ=2）	回帰直線の傾きの半分	0.250

トレンドを半分に抑えるのは、一見すると予測を過小にするように思えます。しかし実務の予測では、これが精度向上に寄与することが多いとされています。

トレンドのダンピング（減衰）効果
過去のトレンドが将来もそのまま続くとは限りません。成長はいずれ鈍化し、市場は飽和します。トレンドをそのまま延長する予測は、長期になるほど外れたときの誤差が大きくなります。Theta法は、トレンドを半分に抑えることで、この「トレンドの過信」を防いでいます。

減衰トレンド法（Damped trend）との共通点
Holt法にトレンドの減衰を加えた減衰トレンド法も、同じ発想の手法です。M3などの予測コンペティションでは、トレンドを控えめに扱う手法が安定して好成績を収めています。

予測の組み合わせとしての側面
Theta法は「回帰直線の予測」と「SESの予測」の単純平均でもあります。異なる性質の予測を平均すると、個々の予測の誤差が打ち消し合い、精度が安定しやすくなります。

季節性のあるデータでは季節調整が前提
Theta法自体は季節性を扱えません。ThetaModelのデフォルト（deseasonalize=True）では、季節性の検定を行い、有意であれば古典的な季節分解で季節調整してから予測し、最後に季節成分を戻します。そのため、周期periodを指定するか、頻度（freq）付きのDatetimeIndexを持つpandasの系列を渡す必要があります。

ベンチマークとして使う
Theta法は計算が軽く、パラメータも少ないため、複雑なモデル（ARIMAや機械学習）を評価する際の比較対象として有用です。複雑なモデルがTheta法に勝てないのであれば、そのモデルの複雑さは正当化されません。

構造変化に弱い
トレンドの傾きb0は全期間の回帰直線から求めるため、途中でトレンドが変化した系列では、古い期間の傾きに引きずられます。構造変化がある場合は、変化後の期間に絞って当てはめることを検討しましょう。

θの選び方
θ=2が標準ですが、データによってはθを調整したほうが精度が上がる場合があります。時系列交差検証で複数のθを比較する、あるいはθ自体を最適化する「Optimized Theta法」を用いる方法があります。